martes, 24 de abril de 2012

Icosaedro y dodecaedro - GeoGebra Hoja Dinámica
Pincha en el enlace para bajar un manual sobre los poliedros regulares:
http://www.box.com/shared/lpxg66qqvg



video


En la animación podemos observar un icosaedro inscrito en un dodecaedro. Cada vértice del  primero está centrado en las caras del segundo, a continuación mientras ambos empiezan a girar  en el mismo sentido se les aplica una transformación: se van achaflanando progresivamente las aristas y los vértices hasta que el icosaedro se convierte en el dodecaedro y recíprocamente.
Se puede observar en la animación que se transforman de manera uniforme y al unísono pasando por un poliedro arquimediano, el rombicosidodecaedrohttp://generacion-de-poliedros.blogspot.com.es/2011/12/blog-post.html
El dodecaedro se convierte antes en el rombicosidodecaedro  que el icosaedro, es por lo que  los poliedros nunca se llegan a relacionar en una homotecia espacial: los vértices correspondientes de ambos rombicosidodecaedros nunca llegan a esta alineados con el centro de ambas figuras, o lo que es lo mismo, no se pueden escalar desde un mismo centro.



En la figura observamos un icosaedro y un dodecaedro regular en planta y alzado. Como podemos observar ambos están inscritos en un cubo y sus aristas a b están centradas en el centro de cada cara del cubo. Si sumamos la arista del dodecaedro a la arista del icosaedro b comprobamos que son del tamaño de la arista del cubo d. Podemos comprobar también que la arista del cubo es a la arista del icosaedro como la arista del icosaedro es a la arista del dodecaedro, por lo que tenemos que las tres medidas están en proporción áurea d/b=b/a, una relación mágica entre dos segmentos cuyo cociente es 1,618 y que aparece de forma continua y necesaria en el orden de la naturaleza. Además en las dos proyecciones en alzado de las figuras la arista del icosaedro es igual a la diagonal de cada cara pentagonal del dodecaedro, ya que en todo pentágono regular el lado y su diagonal están en proporción áurea.
http://la-proporcion-aurea.blogspot.com/

Perspectiva caballera del cubo, icosaedro y dodecaedro



Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com

En la figura podemos  observar un cubo o hexaedro regular en el que se inscribe un icosaedro regular. Dentro del icosaedro regular observamos inscrito un dodecaedro regular. Las tres figuras son poliedros regulares (con lados y ángulos iguales) e interrelacionados mediante la proporción áurea.

Si tomamos la arista del cubo CD, ésta es a la arista del icosaedro CN o CO, como la arista del icosaedro es a la del dodecaedro OD y al mismo tiempo tenemos que la suma de las aristas del icosaedro y dodecaedro es igual a la longitud de la arista del cubo CD=CO+OD, esto quiere decir que las tres dimensiones están relacionadas mediante la proporción áurea.

Tenemos entonces la proporción áurea en la que consideramos el segmento mayor CD para construir el cubo en perspectiva caballera a partir de sus vistas diédricas (en planta y alzado), a continuación tomamos el segmento medio y lo situamos en el centro de cada cara del cubo obteniendo de esta forma las aristas situadas centralmente sobre las caras del cubo. Estas aristas del icosaedro deben estar orientadas ortogonalmente en las caras contiguas, esto quiere decir que cuando una cara está frente a otra tiene las aristas del icosaedro en igual disposición, mediante líneas paralelas.
Una vez que hemos construido el icosaedro por este procedimiento, tomando los puntos centrales de las caras del icosaedro tenemos los vértices del dodecaedro regular inscrito en el mismo. Si tomáramos los puntos centrales de las caras del dodecaedro y los uniéramos obtendríamos nuevamente el icosaedro regular. Esta propiedad se debe a que son duales, de ahí que el número de vértices de uno sea igual al número de caras del otro y recíprocamente, mientras que las aristas de ambos son las mismas. El icosaedro tiene 20 caras y 12 vértices mientras que el dodecaedro tiene 12 caras y 20 vértices, por lo demás ambos tienen 30 aristas.
En la figura podemos comprobar que al mover el punto varía la posición de los elementos de las tres figuras, siempre en concordancia dentro de la perspectiva caballera, esto facilita la comprensión de las figuras y su interrelación espacial.



Casos notables de la representación de los tres poliedros regulares en perspectiva caballera


podemos mover los puntos de la figura y observar casos interesantes en la relación de los dos poliedros regulares.
El eje verde y de la perspectiva caballera coincide con las bases de las pirámides del icosaedro regular, tenemos en consecuencia que ambas figuras aparecen más alargadas en la dirección de este eje.

en este caso se ha reducido al máximo la dimensión de los poliedros sobre el eje y, transformándola en cero unidades, de esta manera la proyección oblicua de la perspectiva caballera se transforma en una proyección ortogonal propia de un alzado del sistema diédrico. Ambas figuras aparecen entonces sin una distorsión propia de la proyección oblicua, sin elongación de sus partes. En el momento en que la proyección del triedro trirrectángulo deja de ser oblicua para transformarse en una proyección ortogonal, tenemos que la perspectiva deja de ser caballera, para transformarse en una representación axonométrica, ortogonal al plano del cuadro o en una proyección diédrica como puede ser un alzado o un perfil.

en la perspectiva caballera las figuras aparecen con una reducción bastante pequeña (el eje verde y se reduce unos 4/5 respecto al eje rojo X), tenemos en consecuencia que ambas figuras aparecen oblicuas y muy distorsionadas, tanto es así que el ángulo que aparece en rojo que es el que forman las dos aristas del icosaedro y dodecaedro debería de ser de 90° en un dibujo en proyección ortogonal.

En esta perspectiva los ejes x y son coincidentes por lo que el alargamiento de la figura se produce en esta dirección. Vuelve a aparecer el mismo tipo de distorsión angular que se comentó en la figura anterior, así por ejemplo tendríamos que en una proyección ortogonal los dos triángulos tendrían sus  medianas ortogonales.

en la figura ahora son coincidentes los ejes y z, ello provoca que la distorsión por alargamiento se produzca en esta dirección, la cara pentagonal amarilla del dodecaedro aparecerían en verdadera forma en una proyección ortogonal mientras que aquí parecen alargados en la dirección vertical. En una proyección ortogonal el icosaedro tendría por contorno un decágono regular mientras que aquí se alarga la figura.

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